クラドニ図形

砂は、なぜ「ゆれない線」の上にだけ集まるのだろう？

振動する板の上で、砂が自分で模様を選ぶ。

かたちをつくる (展示室 Ⅰ)

板は、決まった周波数でだけ大きくふるえる。砂はふるえを嫌って、ふるえない線へ逃げていく。

しくみ

どんな板にも、その形と材質で決まる「固有のふるえ方」（固有モード）があります。モードの周波数に近い音で揺らしたときだけ、板は大きく共鳴します。大きく動く場所では砂が跳ね飛ばされ、ほとんど動かない場所（節線）にだけ残ります。

この展示では、四辺が自由な矩形の板の固有モードを、実際に数値計算で求めています。縦横比を変えれば周波数も模様も変わります。駆動する位置も重要で、駆動点が節線の上にあると、そのモードは励起されません。

ここがおもしろい

正方形の板では、4番目と5番目のモードの周波数が同じ（縮退）です。駆動点を動かすだけで、同じ周波数でも模様がまるで変わります。

共鳴の山と山のあいだでは、板はほとんど動かず、砂は止まります。模様は「ふるえた形」ではなく、「ふるえなかった形」です。

歴史と雑学

1787年 — クラドニの発見

エルンスト・クラドニは1787年の著書『音響学の発見』で、バイオリンの弓でこすった板の上の砂が描く模様を発表しました。音は目に見える、と示したのです。ロバート・フックも17世紀に、小麦粉をまいたガラス板で似た節線を観察していました。

ナポレオンの懸賞と、ソフィー・ジェルマン

1800年代のはじめ、フランス学士院は板の振動を数学で説明した者に懸賞を出しました。独学の数学者ソフィー・ジェルマンは何度も挑戦し、1816年に受賞します。彼女が導いた4階の方程式は、今も薄板理論の基礎です。

1850年と1909年 — 自由な縁の難しさ

自由な縁での正しい境界条件を与えたのは、1850年のキルヒホフです。さらに1909年、ヴァルター・リッツが自由な正方形板に「リッツ法」を適用して固有振動数を求めました。この展示も同じ考え方で計算しています。

科学メモ：計算・近似・演出の区別

物理計算

四辺自由の矩形薄板（ポアソン比0.3）の固有値問題を、自由‐自由ビーム関数の積による144項のレイリー・リッツ法で解いています。正方形の最初の弾性モードから順に、周波数比は 13.48 : 19.68 : 24.35 : 34.91（縮退）…で、文献値（約 13.5, 19.6, 24.3, 34.8）と1%以内で一致します。

近似モデル

板の応答は、各モードを減衰振動子（Q=70）として足し合わせています。砂は一粒ずつ、その場所の板の加速度に比例した大きさでランダムに跳ね、動かない場所に溜まる——という統計モデルです。実際の砂粒には接触や跳ね返りがあり、もっと複雑です。

演出

板の照り返しが鈍って見える所は、振動の強さ（包絡）の目安です。実際のふるえは速すぎて目には見えません。真鍮の質感、砂粒の大きさと影は演出です（砂の積もり方は、実際に計算した粒の分布から描いています）。

この展示で見つかる「発見」

用語のやさしい説明

周波数
1秒間に何回ふるえるか（振動するか）を表す数。単位はHz（ヘルツ）。大きいほど高い音になります。
固有振動数
物がもともと「ふるえやすい」周波数。叩いたときに自然に鳴る高さのことです。
共鳴（共振）
外から揺らす周波数が、その物の固有振動数に近いと、小さな力でも大きくふるえ出す現象。ブランコを揺れに合わせて押すのと同じです。
モード
その物に特有の「ふるえ方の型」。型ごとに決まった周波数があります。
節・節線
波がまったくふるえない場所。クラドニ図形では、砂が集まる線です。
減衰
ふるえが時間とともに小さくなること。
包絡（エンベロープ）
ふるえの大きさの、ゆるやかな変化をなぞった線。
縮退
違うモードなのに、たまたま同じ周波数になること。
境界条件
板や空間の「縁」で、波がどうふるまうかのルール（固定か、自由か、など）。
レイリー・リッツ法
複雑なふるえの問題を、簡単な関数の足し合わせで近似して解く方法。
固有値問題
ふるえ方の型（モード）と、その周波数を求める数学の問題。
ポアソン比
物を引っ張ったとき、横方向に細くなる割合。
駆動点
外から力を加えて、ふるわせている位置。
数値計算
数式を、コンピュータで近似的に解くこと。
薄板理論
薄い板の曲げ振動を扱う理論。

関連する展示

Chladni Figures

Why does sand gather only on the lines that do not move?

Sand on a vibrating plate chooses its own pattern.

Making Shapes (Room Ⅰ)

A plate shakes hard only at certain frequencies. The sand flees the shaking and settles where nothing moves.

How it works

Every plate has its own characteristic ways of vibrating — eigenmodes — set by shape and material. Only a drive near a mode frequency makes the plate resonate strongly. Sand is thrown off wherever the plate moves and stays only where it barely moves: the nodal lines.

Here the modes of a rectangular plate with free edges are actually computed numerically. Change the aspect ratio and both frequencies and patterns change. Where you drive matters too: a driver sitting on a nodal line cannot excite that mode.

Worth noticing

On a square plate the 4th and 5th modes share the same frequency (degenerate). Just moving the driver changes the pattern completely at the same frequency.

Between resonance peaks the plate barely moves and the sand freezes. The pattern is not the shape of the shaking — it is the shape of what did not shake.

History and trivia

1787 — Chladni’s discovery

In his 1787 book “Entdeckungen über die Theorie des Klanges”, Ernst Chladni showed the patterns sand makes on plates stroked with a violin bow — sound made visible. Robert Hooke had already seen similar nodal lines with flour on glass in the 17th century.

Napoleon’s prize and Sophie Germain

In the early 1800s the French Institute offered a prize for a mathematical theory of plate vibration. The self-taught mathematician Sophie Germain tried repeatedly and won in 1816. The fourth-order equation she arrived at is still the basis of thin-plate theory.

1850 and 1909 — the trouble with free edges

The correct free-edge boundary conditions came from Kirchhoff in 1850. In 1909 Walther Ritz applied his variational method to the free square plate to compute its frequencies — the same idea this exhibit uses.

Science notes: computed, modelled, staged

Computed

The eigenproblem of a free-edge rectangular thin plate (Poisson ratio 0.3) is solved with a 144-term Rayleigh–Ritz expansion in free–free beam functions. For the square plate the frequency parameters 13.48 : 19.68 : 24.35 : 34.91 (degenerate)… match published values (≈13.5, 19.6, 24.3, 34.8) within 1%.

Model

The response sums each mode as a damped oscillator (Q = 70). Each grain hops randomly by an amount proportional to the local plate acceleration and piles up where it is still — a statistical model. Real grains involve bouncing and contact and are more complicated.

Staged

Where the plate’s sheen looks dulled hints at vibration strength (the envelope); the real motion is far too fast to see. The brass finish and the size and shadows of the grains are staged (how the sand piles up is drawn from the computed grain distribution).

Discoveries in this exhibit

Plain-language glossary

Frequency
How many times per second something vibrates, in hertz (Hz). Higher frequency means a higher pitch.
Resonance
When you shake something near its natural frequency, even a small push makes it vibrate hard — like pushing a swing in time.
Mode
A characteristic pattern of vibration. Each mode has its own fixed frequency.
Node / nodal line
A place where the wave does not move at all — where sand gathers in a Chladni figure.
Damping
Vibration dying away over time.
Envelope
A smooth outline following how the vibration’s size changes.
Degeneracy
Different modes that happen to share the same frequency.
Boundary condition
The rules for how a wave behaves at an edge (fixed, free…).
Rayleigh–Ritz method
Solves a hard vibration problem by approximating it with a sum of simple functions.
Driving point
The place where force is applied to make it vibrate.
Thin-plate theory
The theory of bending vibrations in thin plates.

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