音程のかたち

「きれいに聞こえる音程」を図にすると、どんな形？

協和する音は、閉じた図形を描く。

音色と音程 (展示室 Ⅱ)

振動数の比が簡単な整数なら、図形は閉じて止まる。少しでもずれれば、回りつづける。

しくみ

横方向の振り子と縦方向の振り子を同時に揺らすと、軌跡はリサジュー図形を描きます。2つの振動数の比が 3:2（完全5度）なら、図形は閉じた曲線に重なり、静止して見えます。比が複雑になるほど図形は込み入り、ずれた比では図形は回転して、同じ形に戻りません。

耳で聞く「協和」も同じ構造です。比が簡単だと波形が短い周期で繰り返され、複雑だとなかなか繰り返されません。わずかなずれは図形の回転として見え、同時に音の「うなり」として聞こえます。

もうひとつのモードでは、減衰する振り子（ハーモノグラフ）が和音から1枚の絵を描きます。

ここがおもしろい

現代の平均律の5度は、純正な3:2より約2セント（0.1%）低い。たったそれだけで、図形は止まらずゆっくり回りつづけます。

図形が閉じるまでの「巻き数」が、その音程の複雑さです。オクターブは8の字、5度は3つの山…と数えられます。

歴史と雑学

1857年 — リサジューの音さ

ジュール・リサジューは2本の音さに小さな鏡を付け、反射させた光の軌跡で2つの音の振動数比を見る方法を考案しました。聞くだけだった音程の関係を、目に見えるものにしたのです。

ハーモノグラフ

振り子の運動を紙に描く装置で、19世紀半ばに登場しました（ヒュー・ブラックバーンの振り子が先駆けとされます）。振り子は摩擦で少しずつ減衰するため、軌跡は渦を巻いて収束します。

平均律のずれ

12平均律では、5度の比は 2^(7/12)=1.4983 で、純正の1.5とは約1.96セントのずれがあります。このずれを許すかわりに、どの調でも演奏できるようになりました。

科学メモ：計算・近似・演出の区別

物理計算

図形は x=sin(2πf₁t), y=sin(2πf₂t+φ) の厳密な軌跡です。ハーモノグラフは、減衰する4つの振り子 x=Σ Aᵢ sin(2πfᵢt+φᵢ)e^(−dt) の解析解です。比は純正律（整数比）と12平均律（2^(n/12)）の実際の値、うなりの速さは実際の周波数差です。

近似モデル

「協和感」を波形の周期性で説明していますが、実際の協和・不協和の知覚には、倍音の重なりや文化・経験も関わります。

演出

図形の描画速度は実際の周波数よりずっと遅く（Xが約12 Hz相当）、軌跡は残像として薄れます。音は実際の周波数で鳴ります。

この展示で見つかる「発見」

• 止まる5度 — 3:2 の比は、閉じて静止する図形になります。
• わずかな回転 — 平均律の5度は純正から約2セントずれ、図形が回ります。
• 1枚の絵 — 減衰が終わると、和音の絵が残ります。

用語のやさしい説明

周波数

1秒間に何回ふるえるか（振動するか）を表す数。単位はHz（ヘルツ）。大きいほど高い音になります。

モード

その物に特有の「ふるえ方の型」。型ごとに決まった周波数があります。

倍音

基本の音（基音）の2倍、3倍…の周波数で同時に鳴る音。音色の違いのもとです。

Hz（ヘルツ）

周波数の単位。1 Hz は1秒に1回のふるえ、1 kHz は1000回です。

減衰

ふるえが時間とともに小さくなること。

解析解

数式で厳密に書き表せる答え。

平均律

1オクターブを12等分した調律。どの調でも弾ける代わりに、ほとんどの音程が「きれいな整数比」からごくわずかにずれます。

純正律

周波数の比が2:3のような単純な整数になる調律。和音がよく溶け合います。

整数比

1:2、2:3のように、整数どうしで表した比。

セント

音程を測る細かい単位。半音の100分の1です。

オクターブ

周波数がちょうど2倍の音どうしの間隔。同じ名前の音に聞こえます。

協和・不協和

同時に鳴らしたとき、よく溶け合って聞こえる（協和）か、ぶつかって聞こえる（不協和）かの感じ方。

うなり

少し違う周波数の2つの音が重なって、音が大きくなったり小さくなったりを繰り返す現象。

リサジュー図形

2つの振動を縦と横にして重ねて描くと現れる曲線。周波数の比が単純なほど、閉じたきれいな図形になります。

ハーモノグラフ

2つ以上の振動を組み合わせて曲線を描く道具。音程の比が図形になって現れます。

関連する展示

• 干渉とシュリーレン — わずかな周波数差が生む「うなり」を、波の干渉として見る。
• 共鳴の林 — 音の高さに「ぴったり」反応する共鳴を探しに。

The Shape of Intervals

What shape does a pleasant interval draw?

Consonant notes draw closed figures.

Timbre & Pitch (Room Ⅱ)

If the frequency ratio is a simple integer ratio the figure closes and holds still. Any deviation makes it keep turning.

How it works

Swing a horizontal and a vertical pendulum together and the trace is a Lissajous figure. At a frequency ratio of 3:2 (a perfect fifth) the figure closes and appears to stand still. More complex ratios give more tangled figures; a mistuned ratio makes the figure rotate and never return.

Consonance has the same structure: with a simple ratio the waveform repeats in a short period, with a complex one it hardly repeats. A slight mistuning shows up as a rotating figure and is heard as beats.

The other mode lets damped pendulums — a harmonograph — draw a picture from a chord.

Worth noticing

The fifth of equal temperament is about 2 cents (0.1 %) flatter than a pure 3:2. That alone keeps the figure turning slowly forever.

The number of loops before the figure closes is the interval’s complexity: an octave is a figure eight, a fifth has three lobes…

History and trivia

1857 — Lissajous’s tuning forks

Jules Lissajous attached small mirrors to two tuning forks and watched the reflected light to see their frequency ratio — making a relationship that had only been heard visible.

The harmonograph

A machine that traces pendulum motion on paper, appearing in the mid-19th century (Hugh Blackburn’s pendulum is considered a forerunner). Friction slowly damps the pendulums, so the trace spirals inward.

The cost of equal temperament

In 12-tone equal temperament the fifth is 2^(7/12)=1.4983, about 1.96 cents from the pure 1.5. That compromise buys the freedom to play in every key.

Science notes: computed, modelled, staged

Computed

The figure is the exact trace of x=sin(2πf₁t), y=sin(2πf₂t+φ). The harmonograph is the analytic solution of four damped pendulums x=Σ Aᵢ sin(2πfᵢt+φᵢ)e^(−dt). Ratios are the true just (integer) and 12-tone (2^(n/12)) values; beating uses the real frequency difference.

Model

Consonance is explained through waveform periodicity, but real perception of consonance also involves overlapping overtones and culture.

Staged

The drawing runs far slower than the real frequencies (x ≈ 12 Hz equivalent) and trails fade out. The sound plays at true frequencies.

Discoveries in this exhibit

• The standing fifth — A 3:2 ratio gives a closed, stationary figure.
• The slow turn — The equal-tempered fifth is ≈2 cents off pure, so the figure turns.
• A drawing — When the damping ends, the chord’s picture remains.

Plain-language glossary

Frequency

How many times per second something vibrates, in hertz (Hz). Higher frequency means a higher pitch.

Mode

A characteristic pattern of vibration. Each mode has its own fixed frequency.

Overtone / harmonic

Sounds at 2×, 3×… the base frequency that ring along with it. They make up a sound’s timbre.

Hz (hertz)

The unit of frequency: 1 Hz is one vibration per second; 1 kHz is a thousand.

Damping

Vibration dying away over time.

Analytic solution

An exact answer that can be written as a formula.

Equal temperament

Tuning that splits the octave into 12 equal steps: playable in any key, but most intervals drift slightly from pure ratios.

Integer ratio

A ratio of whole numbers, like 1:2 or 2:3.

Cent

A fine unit for musical intervals: one hundredth of a semitone.

Octave

The interval between sounds whose frequencies differ by exactly 2×; they sound like the “same” note.

Consonance

Whether sounds played together blend smoothly (consonant) or clash (dissonant).

Beats

Two slightly different frequencies overlap and the loudness swells and fades repeatedly.

Lissajous figure

The curve drawn by plotting two vibrations against each other; simple frequency ratios give neat closed shapes.

Harmonograph

A device that draws curves from combined vibrations; interval ratios become shapes.

Related exhibits

• Interference & Schlieren — See beats from a tiny frequency difference as wave interference.
• The Reed Forest — Find resonances that react to exactly the right pitch.