弦と倍音

ひとつの弦から、なぜ何十もの音が同時に鳴る？

1本の弦のなかに、ひそんでいる何十もの音。

音色と音程 (展示室 Ⅱ)

弦は、1つの音ではなく、整数倍の振動数の音の重なりで鳴っている。

しくみ

両端を固定した弦には、1, 2, 3…個の「ふくらみ」をもつ定在波が立ちます。振動数は基音の整数倍（倍音）で、弾いた瞬間にはそのほとんどが同時に鳴っています。

弾く位置が倍音の強さを決めます。第n倍音の節（弦をn等分する点）を弾けば、その倍音は鳴りません。逆に、弦の1/2や1/3の点に軽く触れると、その点に節をもたない倍音がすべて止まり、触れた点に節をもつ倍音だけが残ります。これがハーモニクスです。

本物の弦は硬さをもつため、高い倍音ほどわずかに高くずれます（インハーモニシティ）。ピアノの調律師が、高音側の音を少し高めに「伸ばして」合わせる理由のひとつです。

ここがおもしろい

弦の中央を弾くと、偶数倍音（2, 4, 6…）がすべて消えます。そのため音は丸く、こもって聞こえます。

楽器の「音色」の違いの大半は、倍音の強さの違いです。同じ音の高さでも、倍音の割合が違えば別の楽器の音になります。

歴史と雑学

17〜18世紀 — 倍音の発見

マラン・メルセンヌは1636年の著作で、1本の弦から複数の高い音が同時に聞こえることを記しました。ジョゼフ・ソヴール（1701年）は弦の「節」と「腹」を区別し、「倍音（ハーモニクス）」という語を導入しています。

1822年と1863年 — フーリエとヘルムホルツ

フーリエは1822年、あらゆる周期的な波を正弦波の和で表せることを示しました。ヘルムホルツは1863年の『音感覚論』で、音色とは倍音の混ざり方であることを実験で示しました。

ギターの12フレット

ギターの12フレットは弦のちょうど中点です。そこに軽く触れると1オクターブ上（第2倍音）が鳴ります。5フレットは1/4、7フレットは1/3の点に近く、いずれも倍音が鳴ります。

科学メモ：計算・近似・演出の区別

物理計算

弦の運動を、固定端の正弦モードの和として厳密に表しています。弾いた形（三角形）から各モードの初期振幅 aₙ=2h·sin(nπx₀)/(n²π²x₀(1−x₀)) を計算し、振動数は fₙ = n·f₁·√(1+Bn²)（硬さBの弦）、減衰は倍音ごとに異なる時定数で、音もこの式どおり24個の正弦波で合成しています。

近似モデル

指で触れる効果は、触れた点に節をもたない倍音を強く減衰させる簡易モデルです。弦の縦振動や、胴・ピックアップの影響は含みません。

演出

弦の動きは実際の100分の1ほどのスロー再生で、振幅も誇張しています。

この展示で見つかる「発見」

• ハーモニクス — 節に触れると、その点に節をもつ倍音だけが残ります。
• 消える倍音 — 中央を弾くと、偶数倍音が消えます。
• ずれる倍音 — 硬い弦では、倍音が整数倍からずれます。

用語のやさしい説明

周波数

1秒間に何回ふるえるか（振動するか）を表す数。単位はHz（ヘルツ）。大きいほど高い音になります。

モード

その物に特有の「ふるえ方の型」。型ごとに決まった周波数があります。

定在波

進む波と戻る波が重なって、その場でふるえているだけに見える波。まったく動かない点（節）と、大きく動く点（腹）が並びます。

倍音

基本の音（基音）の2倍、3倍…の周波数で同時に鳴る音。音色の違いのもとです。

基音

音のいちばん低い成分で、ふつう「音の高さ」を決めているもの。

減衰

ふるえが時間とともに小さくなること。

振幅

ふるえの大きさ。

オクターブ

周波数がちょうど2倍の音どうしの間隔。同じ名前の音に聞こえます。

正弦波・純音

いちばん単純な、なめらかに波打つ波形（サイン波）。倍音をもたない澄んだ音です。

インハーモニシティ

硬い弦で、倍音が「ちょうど整数倍」からわずかにずれる現象。

ハーモニクス

弦の節にそっと触れて、倍音だけを鳴らす奏法。

フレット

ギターなどの指板にある金属の仕切り。弦を押さえる位置を決めます。

時定数

変化が落ち着くまでにかかる時間の目安。

ピックアップ

弦のふるえを電気信号に変える部品。

関連する展示

• 音程のかたち — 2つの音の振動数の比を、図形として見てみる。
• ありえない音 — 倍音が主役になる、不思議な錯覚へ。

String & Overtones

How does one string sing dozens of notes at once?

Dozens of hidden notes inside a single string.

Timbre & Pitch (Room Ⅱ)

A string never sounds one note: it sounds a stack of integer-multiple frequencies.

How it works

A string fixed at both ends supports standing waves with 1, 2, 3… loops. Their frequencies are integer multiples of the fundamental (overtones), and most of them sound together the moment you pluck.

Where you pluck sets the overtone balance. Pluck at a node of the n-th overtone (the point dividing the string into n parts) and that overtone is absent. Touch the string lightly at 1/2 or 1/3 and every overtone without a node there is stopped — only those with a node at your finger remain. That is a harmonic.

A real string is stiff, so higher overtones are slightly sharp (inharmonicity). It is one reason piano tuners “stretch” the tuning toward the treble.

Worth noticing

Pluck at the exact middle and every even overtone (2, 4, 6…) vanishes — the tone turns round and hollow.

Most of what we call timbre is just the balance of overtones. Same pitch, different balance, different instrument.

History and trivia

17th–18th century — discovering overtones

Marin Mersenne noted in 1636 that several higher tones sound at once from a single string. Joseph Sauveur (1701) distinguished nodes from loops and introduced the term “harmonics”.

1822 & 1863 — Fourier and Helmholtz

Fourier showed in 1822 that any periodic wave is a sum of sines. In “On the Sensations of Tone” (1863) Helmholtz demonstrated that timbre is the mixture of overtones.

The 12th fret

The 12th fret of a guitar is the exact midpoint. Touching it lightly gives the octave (2nd harmonic). The 5th and 7th frets lie near 1/4 and 1/3 and also give harmonics.

Science notes: computed, modelled, staged

Computed

The string motion is represented exactly as a sum of fixed-end sine modes. The initial amplitudes aₙ=2h·sin(nπx₀)/(n²π²x₀(1−x₀)) follow from the triangular pluck; frequencies are fₙ = n·f₁·√(1+Bn²) for a stiff string, each overtone has its own decay time, and the sound is synthesised from 24 sine waves exactly as given.

Model

A touching finger is modelled as strong damping of every overtone without a node at that point. Longitudinal motion and the body or pickup are not included.

Staged

The string is shown in roughly 1/100 slow motion with exaggerated amplitude.

Discoveries in this exhibit

• Harmonic — Touching a node leaves only overtones that have a node there.
• Vanishing overtone — Plucking the middle removes even overtones.
• Stretched partials — On a stiff string overtones drift from integer multiples.

Plain-language glossary

Frequency

How many times per second something vibrates, in hertz (Hz). Higher frequency means a higher pitch.

Mode

A characteristic pattern of vibration. Each mode has its own fixed frequency.

Standing wave

Two opposite waves overlap and seem to just shake in place: still points (nodes) alternate with strongly moving points (antinodes).

Node / nodal line

A place where the wave does not move at all — where sand gathers in a Chladni figure.

Overtone / harmonic

Sounds at 2×, 3×… the base frequency that ring along with it. They make up a sound’s timbre.

Fundamental

The lowest component of a sound, which normally sets its perceived pitch.

Damping

Vibration dying away over time.

Amplitude

The size of a vibration.

Octave

The interval between sounds whose frequencies differ by exactly 2×; they sound like the “same” note.

Sine wave / pure tone

The simplest smooth wave shape: a clear tone with no overtones.

Inharmonicity

In stiff strings, overtones sit slightly off exact whole-number multiples.

Fret

The metal strips on a guitar neck that set where the string is stopped.

Pickup

A component that turns string vibration into an electrical signal.

Related exhibits

• The Shape of Intervals — See the frequency ratio of two notes as a shape.
• Impossible Sounds — On to illusions where overtones take the lead.